Dynamische Antriebsauslegung


Zuletzt aktualisiert von Rolf Gloor am 09.08.2011

Als Ergänzung zu den Anforderungen bei der statischen Antriebsauslegung muss bei der dynamischen Antriebsauslegung eine bestimmte Drehzahl oder Position in einer vorgegebenen Zeit erreicht werden. Für die dazu notwendige Beschleunigung (oder Verzögerung) muss das Antriebssystem ein zusätzliches Drehmoment aufbringen. Je grösser die Beschleunigung ist, desto mehr Kraft ist erforderlich. In vielen dynamischen Maschinen braucht der Motor die meiste Kraft, um seinen eigenen Rotor zu beschleunigen.

Translation: lineares System

antriebsdimensionierung_translation
Die translatorische Bewegung.

Das translatorische System bezieht sich auf geradlinige (lineare) Bewegungen, wie sie Schlitten, Aufzüge, Kolben und andere Teile von Maschinen und Anlagen ausführen.

Die Grundeinheiten für das translatorische System sind der Weg [m], die Zeit [s] und die Masse [kg]. Die Beschleunigungskraft ist [N (Newton) = kg m/s²]. Für nicht veränderliche Massen, ist die Beschleunigungskraft das Produkt aus Masse mal Beschleunigung: .

Die Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit: [m/s], die Beschleunigung ist Geschwindigkeit durch Beschleunigungszeit: [m/s²]. Im freien Fall mit einer Beschleunigung von etwa 10 m/s² nimmt die Geschwindigkeit pro Sekunde um 10 m/s (36 km/h) zu. Für die Beschreibung höherwertiger Bewegungsverläufe gibt es noch die Ableitung der Beschleunigung mit der Bezeichnung "Ruck": [m/s³]. Im Kapitel Positionierung sind optimale Bewegungsabläufe für minimale Geschwindigkeit, Beschleunigung und Leistung dargestellt.

Rotation: drehendes System

Das rotative System bezieht sich auf Drehbewegungen wie sie in rotierenden elektrischen Maschinen, Getrieben, Walzen, Spindeln und Teilen von Maschinen und Anlagen vorkommen.

antriebsdimensionierung_rotation
Die rotierende Bewegung.

Die beste Einheit für den Winkel ist rad (Radiant), (0.16 Umdrehungen oder 57.3 Grad) ist ungewohnt. Radiant ist eine dimensionslose Grösse, damit aber in der Rechnung das Bezugssystem deklariert wird, ist es nützlich die Einheit rad zu benutzen. Durch die Verwendung dieser Grösse können die Umrechnungsfaktoren bei der Berechnung weggelassen werden. Die Grundeinheiten für ein rotatives System sind der Winkel [rad], daraus lassen sich die Winkelgeschwindigkeit (Drehzahl) [rad/s], die Winkelbeschleunigung [rad/s²], der Winkelruck [rad/s³] ableiten. Im rotativen System gibt es noch das Beschleunigungsmoment [Nm] und die Schwungmasse (polares Massenträgheitsmoment) [kgm²].

Bei der dynamischen Auslegung von Gelenken, Kurbeltrieben und ähnlichen Systemen ist bei der Berechnung der Beschleunigungsmomente die ausführliche Formel zu verwenden. Durch den veränderlichen Radius für die Bewegungsübertragung vom linearen ins rotative System verändert sich die transformierte Schwungmasse mit dem Winkel und der Zeit: oder bei konstanter Schwungmasse vereinfacht .

Schwungmasse und Getriebe

Das polare Massenträgheitsmoment (Schwungmasse) eines Körpers nimmt quadratisch mit dem Abstand der Masse vom Rotationszentrum zu: . Bei einem Vollzylinder rechnet sich die Schwungmasse [kgm²] aus dem Radius [m] der Länge [m], der Masse [kg] und diese aus den Abmessungen und dem homogenem spezifischem Gewicht [kg/m³] nach der Formel: . Die Schwungmasse eines Vollzylinder nimmt mit der vierten Potenz des Durchmessers zu. Ein um 20% dickerer Zylinder hat die doppelte Schwungmasse.

Wenn zwei rotierende Körper über ein Getriebe miteinander verbunden sind, so wird die Schwungmasse mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses [-] transformiert. Eine optimale Anpassung ist gefunden, wenn die transformierte träge Masse der Last gleich gross ist, wie die des Motors.

 

antriebsdimensionierung_getriebe
Riemengetriebe mit Übersetzung .

Die Transformation von Winkel, Drehzahl, Winkelbeschleunigung, Drehmoment und Schwungmasse durch ein Getriebe mit der Untersetzung ist:

GrösseAntrieb Last
Winkel
Winkelgeschwindigkeit (Drehzahl)
Winkelbeschleunigung
Winkelruck
Drehmoment
Schwungmasse (resultierend)
Leistung

Transformation: Umwandlung Translation in Rotation

Die Umwandlung einer rotativen in eine translatorische Bewegung kann auf verschiedene Arten erfolgen: Kette, Zahnriemen, Seilzug, Zahnstange, Spindel, usw. Bei diesen Transformationen kann ein Rechnungsradius [m] als Umrechnungswert angenommen werden. Bei den Übertragungselementen mit einer Abwicklung über den Umfang entspricht dieser Radius dem geometrischen Wert. Bei einer Spindel ist der Rechnungsradius die Spindelsteigung [m]: . Bei der Formel für die resultierende Schwungmasse [kgm²] bezogen auf die Seiltrommel ist zu beachten, dass die Masse [kg] über den Seilzug direkt am Umfang der Seiltrommel angreift. Dadurch entfällt der Faktor , welcher bei der Berechnung der Schwungmasse bei einem Vollzylinder verwendet wird. Dort ist die Masse über das ganze Volumen gleichmässig verteilt.

antriebsdimensionierung_transformation
Ein Schlitten wird mit einem Seil über eine Seiltrommel mit dem Radius gezogen.

Die Transformation mit dem "Rechnungsradius" ist:

GrösseRotation Translation
Winkel
Winkelgeschwindigkeit (Drehzahl)
Winkelbeschleunigung
Winkelruck
Drehmoment
Schwungmasse (resultierend)

Energie und Leistung

Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit. Für die Berechnung der Hochlaufzeit bei einer Beschleunigung mit konstanter Leistung (Feldschwächbereich einer Asynchronmaschine) kann über die Differenz der kinetischen Energie berechnet werden. Mit einer Kontrollrechnung über die Energie oder Leistung kann auch die Rechnung bei verknüpften Systemen (Getriebe, Zahnriemen ...) überprüft werden, indem jedes System einzeln gezählt wird.

GrösseSymbolEinheitTranslationRotation
Leistung W
Energie J=Ws
Energie (statisch) J
Energie (Kraft/Moment konstant) J
Energie (kinetisch) J
Energie (potentiell) J  
Erdbeschleunigung m/s² 9.81  
Höhenunterschied m    

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