Kennlinienherleitung von Asynchronmaschinen


Zuletzt aktualisiert von Rolf Gloor am 05.05.2011

Die Berechnung des Drehmoments einer Asynchronmaschine erfolgt am einfachsten über untenstehendes vereinfachtes einphasiges Ersatzschaltbild. Bei dieser Berechnung werden die Sättigung, die Eisenverluste und die Stromverdrängung in den Rotornuten vernachlässigt.

kennlinienherleitung_asm_schaltbild_v
Vereinfachtes Ersatzschaltbild für der beiden elektrischen Kreise einer Asynchronmaschine.

Maschengleichung für den Statorkreis und den Rotorkreis

Us = Rs Is + j ωs Ls Is + j ωs Lh Ir Ls = s + Lh
Ur = Rr Ir + j ωr Lr Ir + j ωr Lh Is Lr = r + Lh
= 0 Rotorwicklung kurzgeschlossen
.

Berechnung des Rotorstroms

Ir = - j ωr Lh Is / (Rr + j ωr Lr)
= - j ωr Lh Is x / (ωr Lr + j ωr Lr x) x = ωr Lr / Rr
= - j Lh Is x / (Lr (1 + j x)
= - j Lh Is x (1 - j x) / (Lr (1 + x²))
= - Lh Is x (j + x) / (Lr (1 + x²))
.

Einsetzen des Rotorstroms in die Maschengleichung des Statorkreises

Us = Rs Is + j ωs Ls Is - j ωs Lh Lh Is x (j + x) / (Lr (1 + x²))
= Rs Is + j ωs Ls Is - j ωs (1- σ) Ls Is x (j + x) / (1 + x²) σ = 1 - Lh² / (Ls Lr)
= (Rs + j ωs Ls + ωs (1- σ) Ls x (1 - j x) / (1 + x²)) Is
.

Berechnung der Wirkleistung des Statorkreises eines Stranges

Ps = Us Is* Imaginärteil fällt weg
= (Rs + ωs (1- σ) Ls x / (1 + x²)) Is²
.

Berechnung der Verlustleistungen eines Stranges

Pv = Rs Is² + Rr Ir²
= Rs Is² + Rr (- Lh Is x (j + x) / (Lr (1 + x²)))²
= Rs Is² + (Rr Lh² x² (j + x)² / (Lr (1 + x²))²) Is²
= Rs Is² + (ωr Lh² x (j + x)²  / (Lr (1 + x²)²)) Is² Rr = ωr Lr / x
= Rs Is² + (ωr (1- σ) Ls x (j + x)² / (1 + x²)²) Is² Lh² = (1 - σ) Ls Lr
= Rs Is² + (ωr (1- σ) Ls x (1 + x²) / (1 + x²)²) Is² Berechnung des Betrages
= (Rs + ωr (1- σ) Ls x / (1 + x²)) Is²
.

Berechnung der mechanischen Leistung eines Stranges

Pm = Ps - Pv
= (Rs + ωs (1- σ) Ls x / (1 + x²)) Is² - (Rs + (ωr (1- σ) Ls x / (1 + x²)) Is²
= ((ωs - ωr) (1- σ) Ls x / (1 + x²)) Is²
.

Berechnung der mechanischen Drehzahl, Definition des Schlupfes

Ω = (ωs - ωr) / p p = Polpaarzahl (1 für 2-polig)
Ω0 = ωs / p Synchrone Drehzahl (Leerlauf)
s = ωr / ωs Schlupf
= (Ω0 - Ω) / Ω0
.

Berechnung des Drehmoments aus dem Statorstrom

M = m Pm / Ω m = Strangzahl (3 für 3-phasig)
M = m p (1- σ) Ls x / (1 + x²) Is² Drehmoment
.

Berechnung der Statorimpedanz

Zs = Us / Is
= Rs + j ωs Ls + ωs (1- σ) Ls x (1 - j x) / (1 + x²)
= (j (1 + x²) + (1- σ) x (1 - j x)) ωs Ls / (1 + x²) für Rs << ωs Ls
= ((1- σ) x + j (1 + x² - (1- σ) x²)) ωs Ls / (1 + x²)
= ((1- σ) x + j (1 + σ x²)) ωs Ls / (1 + x²)
Zs² = ((1- σ x² + (1 + σ x²)²) ωs² Ls² / (1 + x²)²
= (x² - 2 σ x² + σ² x² + 1 + 2 σ x² + σ² (x²)²) ωs² Ls² / (1 + x²)²
= (1 + x²) (1 + σ² x²) ωs² Ls² / (1 + x²)²
= (1 + σ² x²) ωs² Ls² / (1 + x²)
.

Berechnung des Drehmoments aus der Statorspannung

M = m p (1- σ) Ls x / (1 + x²) Us² / Zs²
= m p (1- σ) Ls x / (1 + x²) Us² / ((1 + σ² x²) ωs² Ls² / (1 + x²))
M = m p (1- σ) x / (Ls (1 + σ² x²)) Us² / ωs² Drehmoment
.

Berechnung des Kippmomentes und Kippschlupfes

M’ = dM / dx
~ 1 / (1 + σ² x²) - 2 σ² x² / (1 + σ² x²)²
0 = 1 + σ² x² - 2 σ² x² Bedingung für Kippmoment
xk = 1 / σ
Mk = m p (1- σ) / (Ls σ (1 + σ² / σ²)) Us² / ωs² Kippdrehmoment
Mk = m p (1- σ) / (2 σ Ls) Us² / ωs² Kippmoment
xk = ωrk Lr / Rr
ωrk = Rr / (σ Lr) Rotorkippfrequenz
sk = Rr / (σ ωs Lr) Kippschlupf

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